Прежде чем начать писать супер программы, давайте, разберёмся, что же такое программа? Программа — это определённый алгоритм, который должен выполнить ваш компьютер.

Ну, а теперь главный вопрос: Что такое алгоритм?

Свойства алгоритмов

Я не буду изобретать велосипед, а просто перечислю свойства алгоритма, которые известны уже много лет.

1. Конечность(результативность) алгоритма означает, что за конечное число шагов должен быть получен результат;
2. Дискретность алгоритма означает, что алгоритм должен быть разбит на последовательность выполняемых шагов;
3. Понятность алгоритма означает, что алгоритм должен содержать только те команды, которые входят в набор команд, который может выполнить конкретный исполнитель;
4. Точность алгоритма означает, что каждая команда должна пониматься однозначно;
5. Массовость алгоритма означает, что однажды составленный алгоритм должен подходить для решения подобных задач с разными исходными данными.
6. Детерминированность (определенность) . Алгоритм обладает свойством детерминированности, если для одних и тех же наборов исходных данных он будет выдавать один и тот же результат, т.е. результат однозначно определяется исходными данными.

Таким образом, Алгоритм — это понятное и точное предписание исполнителю, выполнить конечную последовательность шагов, приводящей от исходных данных к искомому результату.

Представьте, что я должен с ножом порезать апельсин. Чтобы выполнить это действие мне потребуется алгоритм.

Я хочу порезать апельсин. Как это сделать?

Виды алгоритмов

• Линейный(Команды последовательны без повторов и переходов);

Пример алгоритма:

начало
достань нож
порежь апельсин(Именно апельсин, а не любой другой фрукт. За это отвечает ТОЧНОСТЬ)
съешь апельсин
конец

• Циклический(Есть группа действий, повторяющихся по некоторому условию);

Пример алгоритма:

начало
достань нож
ПОКА апельсины не закончились
порежь апельсин
съешь все апельсины
конец

• Разветвляющийся(Выполнение команды зависит от условия).

Пример алгоритма:

начало
достань нож
ЕСЛИ нож тупой поточи
порежь апельсин
съешь апельсин
конец

Вот и все. На следующем уроке мы с вами рассмотрим структуру программы в Паскаль.

Итоговое тестирование по информатике

1. Как называлось вычислительное устройство, которое использовалось в Древней Греции?

1. калькулятор
2. машина Паскаля
3. арифмометр
4. логарифмическая линейка

2. Проект первой программно-управляемой машины был разработан:

1. Чарльзом Бэббиджем
2. Блезом Паскалем
3. Джоном фон Нейманом
4. С.А. Лебедевым
5. Джоном Непером

3. Для ввода программ и данных в ЭВМ первого поколения использовались

1. магнитные барабаны
2. оптические диски
3. магнитные диски
4. перфокарты
5. магнитные ленты

4. Элементной базой первого поколения были

1. транзисторы
2. микропроцессоры
3. интегральные схемы
4. электронные лампы
5. электромеханическое реле

5. Первая ЭВМ называлась …

6. Кто был конструктором первых отечественных ЭВМ?

7. Как назывался первый серийный персональный компьютер?

8. Элементной базой ЭВМ третьего поколения были

1. микропроцессоры
2. транзисторы
3. интегральные схемы
4. электронные лампы
5. электромеханическое реле

9. Что такое информатизация?

1. программное обеспечение компьютера
2. технология подготовки документов
3. совокупность способов и приемов хранения, передачи и обработки информации
4. процесс создания, развития и массового применения информационных средств и технологий
5. система управления базами данных

10. Информационным обществом называют:

1. систему национальных, общественных учреждений
2. пользователей сети Интернет
3. сеть, связывающую между собой множество локальных сетей, а также отдельные компьютеры
4. стадию развития общества, на которой основным предметом трудовой деятельности людей становится информация
5. общество, характеризующееся высокой степенью открытости, доступности информации о деятельности учреждений, организаций, должностных лиц и т.п. для общественного ознакомления, обсуждения

11. Что из перечисленного НЕ относится к целям информатизации?

1. информационное обеспечение активного отдыха и досуга людей
2. формирование и развитие информационных потребностей людей
3. формирование условий, обеспечивающих осуществление информатизации
4. информационное обеспечение всех видов деятельности
5. перевод всех информационных ресурсов в цифровой формат

12. К национальным информационным ресурсам относятся

1. медицинские учреждения
2. фонды библиотек и архивов
3. университеты, институты, академии
4. газ, нефть
5. общественные организации

13. К мерам обеспечения информационной безопасности НЕ относится

1. технические меры по защите от компьютерных преступлений
2. юридические меры по защите от компьютерных преступлений
3. разработка технологий создания защищенных автоматизированных систем обработки информации
4. соблюдение правил техники безопасности при работе с компьютером
5. административные меры по защите от компьютерных преступлений

14. По линии прямой связи передаются

1. команды управления и информация об объекте управления
2. информация о состоянии объекта управления
3. информация о состоянии управляющей системы
4. команды управления
5. команды управления и информация об управляющей системе

15. Какой из объектов может являться исполнителем алгоритмов?

16. Алгоритмы, которые решают некоторую подзадачу главной задачи и, как правило, выполняются многократно, называются:

1. циклическими
2. вспомогательными
3. линейными
4. основными
5. ветвящимися

Читайте также: Какие документы должны выдать при увольнении

17. Алгоритм называется линейным:

1. если ход его выполнения зависит от истинности тех или иных условий
2. если его исполнение предполагает многократное повторение одних и тех же операций
3. если операции выполняются в порядке их естественного следования друг за другом независимо от каких-либо условий
4. если он представим в табличной форме
5. если операции выполняются от нач до кон

18. Понятность алгоритма означает, что он должен быть записан с помощью:

1. команд, понятных создателю алгоритма
2. команд из системы команд исполнителя
3. команд, понятых пользователю алгоритма
4. команд, понятных для компьютера
5. операторов языка программирования

19. Конечность алгоритма означает, что:

1. в нем должен присутствовать оператор вывода результата
2. он должен решать задачу вычислительного характера
3. в нем должно присутствовать ключевое слово, означающее конец алгоритма
4. он должен быть применим для решения всех задач заданного типа
5. результат должен быть получен за конечное число шагов

20. Как называется свойство алгоритма, соответствующее определению: «Алгоритм должен быть записан из команд, понятных исполнителю, каждая команда должна определять однозначное действие исполнителя»?

1. массовость
2. точность
3. конечность
4. понятность
5. дискретность

21. Алгоритм — это

1. конечный набор предписаний, определяющий решение задачи посредством конечного количества операций
2. правила выполнения определенных действий
3. набор команд для компьютера
4. протокол вычислительной сети
5. предписание исполнителю совершить последовательность действий

22. В клетку электронной таблицы можно занести.

1. только формулу
2. только число или текст
3. только число
4. число, формулу или текст
5. диаграмму

23. Диапазон клеток электронной таблицы — это

1. множество клеток, образующих область произвольной формы
2. множество заполненных клеток ЭТ
3. множество пустых клеток ЭТ
4. множество клеток, образующих область прямоугольной формы
5. множество клеток, образующих область квадратной формы

24. Сколько клеток входит в диапазон клеток A5:D8?

25. Клетка ЭТ называется текущей, если

1. клетка видна на экране
2. в ней находится информация
3. клетка является пустой
4. клетка содержит формулу
5. в ней находится курсор

26. Адрес клетки электронной таблицы — это

1. имя, состоящее из последовательности символов
2. имя, состоящее из имени столбца и номера строки
3. адрес байта оперативной памяти, отведенного под клетку
4. адрес машинного слова оперативной памяти, отведенного под клетку
5. номер байта оперативной памяти, отведенной под клетку

27. Чему равна сумма двоичных чисел 110110 и 101?

28. Неверно утверждение:

1. запись включает в себя несколько полей
2. поле включает в себя несколько записей
3. каждое поле БД имеет свой размер
4. БД имеет жесткую структуру
5. каждое поле имеет имя

29. Структура БД изменится, если

1. добавить/удалить поле
2. отредактировать запись
3. поменять местами записи
4. добавить запись
5. удалить запись

30. В реляционной БД информация организована в виде

1. иерархической структуры
2. файла
3. дерева
4. прямоугольной таблицы

31. Что делает невозможным подключение компьютера к глобальной сети:

1. Тип компьютера
2. Состав периферийных устройств
3. Отсутствие дисковода
4. Отсутствие сетевой карты

32. В компьютерных сетях используются обычно каналы связи:

1. Провода
2. Кабели
3. Радио связь
4. Все вышеперечисленное

33. Эффективность компьютерной связи зависит обычно от:

1. Пропускной способности
2. Производительности процессора
3. Емкости памяти
4. Все вышеперечисленное

34. Устройство, производящее преобразование аналоговых сигналов в цифровые и обратно, называется:

35. Объединение компьютеров и локальных сетей, расположенных на удаленном расстоянии, для общего использования мировых информационных ресурсов, называется.

1. локальная сеть
2. глобальная сеть
3. корпоративная сеть
4. региональная сеть

36. В локальных сетях используются:

1. Провода и кабели
2. Линии телефонной связи
3. Электронные лампы
4. Кристалл

37. Всемирная паутина — это система в глобальной сети, которое носит название:

38. Протоколы — это …

1. специализированные средства, позволяющие в реальном времени организовать общение пользователей по каналам компьютерной связи
2. совокупностью правил, регулирующих порядок обмена данными в сети
3. система передачи электронной информации, позволяющая каждому пользователю сети получить доступ к программам и документам, хранящимся на удаленном компьютере

39. Браузер — это …

1. информационная система, основными компонентами которой являются гипертекстовые документы
2. программа для просмотра Web-страниц
3. сервис Интернета, позволяющий обмениваться между компьютерами посредством сети электронными сообщениями

40. Адрес электронной почты записывается по определенным правилам. Уберите лишнее

1. petrov_yandex.ru
2. [email protected]
3. [email protected]

Итоговое тестирование по информатике на тему «Управление и алгоритмы» (9 класс)

Что такое КИБЕРНЕТИКА?

раздел информатики, целью которой является разработка интеллектуальных систем; наука, занимающаяся изучением способов передачи, хранения и обработки информации с помощью компьютера;

наука об управлении в живых и неживых системах;

наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка;

наука о жизни, одна из естественных наук, предметом которой являются живые существа и их взаимодействие с окружающей средой.

Читайте также: Возврат госпошлины при отказе от иска в арбитражном суде

Кто основал КИБЕРНЕТИКУ?

венгро-немецкий математик Джон фон Нейман;

греческий философ Платон;

французский физик Андре Ампер;

русский учёный Владислав Закревский;

американский математик Норберт Винер.

Из каких элементов с точки зрения кибернетики состоит всякая система управления?

канал обратной связи;

16+ Свидетельство о регистрации СМИ:
Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015.

Лицензия на осуществление образовательной деятельности: № 5201 от 20.05.2016.

Адрес редакции и издательства: 214011, РФ,
г. Смоленск, ул. Верхне-Сенная, 4.
Контакты: [email protected]

Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: ООО «Инфоурок» (Свидетельство № 581999)

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

1. Как называется свойство алгоритма, 1. Как называется свойство алгоритма, означающее, что данный алгоритм применим к решению целого класса задач?
а) понятность
б) определённость
в) результативность
г) массовость
2. Как называется свойство алгоритма, означающее, что он всегда приводит к результату через конечное, возможно, очень большое число шагов?
а) дискретность
б) понятность
в) результативность
г) массовость
3. Как называется свойство алгоритма, означающее, что он задан с помощью таких предписаний, которые исполнитель может воспринимать и по которым может выполнять требуемые действия?
а) дискретность
б) понятность
в) определённость
г) массовость
4. Как называется свойство алгоритма, означающее, что пусть решения задачи разделён на отдельные шаги?
а) дискретность
б) определённость
в) результативность
г) массовость
5. Как называется свойство алгоритма, означающее, что путь решения задачи определён вполне однозначно, на любом шаге не допускаются никакие двусмысленные и недомолвки?
а) дискретность
б) понятность
в) определённость
г) результативность

Проверенные ответы содержат информацию, которая заслуживает доверия. На «Знаниях» вы найдёте миллионы решений, отмеченных самими пользователями как лучшие, но только проверка ответа нашими экспертами даёт гарантию его правильности.

Ответим на вопросы по теме «Свойства алгоритма»:

Прежде,чем ответить на вопросы теста, вспомним свойства алгоритма:

1. Понятность — содержание команд, понятных исполнителю;
2. Определённость — результат однозначно определяется исходными данными, каждый шаг алгоритма строго определен.
3. Результативность — получение результата через конечное число шагов.
4. Массовость — определенный алгоритм может применяться для решения подобных задач.
5. Дискретность — разделение алгоритма на последовательные действия (шаги).
6. Точность — все команды должны четко (однозначно) пониматься.

Вопрос №1
Как называется свойство алгоритма, означающее, что данный алгоритм применим к решению целого класса задач ?
а) понятность;
б) определённость;
в) результативность;
г) массовость — определенный алгоритм может применяться для решения целого класса подобных задач .
ОТВЕТ: Г) МАССОВОСТЬ

Вопрос № 2
Как называется свойство алгоритма, означающее, что он всегда приводит к результату через конечное . возможно, очень большое число шагов ?
а) дискретность;
б) понятность;
в) результативность — получение результата через конечное число шагов ;
г) массовость.
ОТВЕТ: В) РЕЗУЛЬТАТИВНОСТЬ .

Вопрос №3
Как называется свойство алгоритма, означающее, что он задан с помощью таких предписаний, которые исполнитель может воспринимать и по которым может выполнять требуемые действия ?
а) дискретность;
б) понятность — содержание команд, понятных исполнителю ;
в) определённость;
г) массовость.
ОТВЕТ: Б) ПОНЯТНОСТЬ.

Вопрос № 4
Как называется свойство алгоритма, означающее, что путь решения задачи разделён на отдельные шаги ?
а) дискретность — разделения алгоритма на последовательные действия (шаги);
б) определённость;
в) результативность
г) массовость
ОТВЕТ: А) ДИСКРЕТНОСТЬ

Вопрос № 5
Как называется свойство алгоритма, означающее, что путь решения задачи определён вполне однозначно . на любом шаге не допускаются никакие двусмысленные и недомолвки?
а) дискретность;
б) понятность;
в) определённость — результат однозначно определяется исходными данными, каждый шаг алгоритма строго определён;
г) результативность.
ОТВЕТ: В) ОПРЕДЕЛЁННОСТЬ.

Бесплатная помощь с домашними заданиями

Введение в понятие алгоритма

Понятие алгоритма

В сегодняшнем социуме слово «алгоритм» настолько широко распространено, что большинству интуитивно понятно. Под ним мы понимаем какую-либо последовательность шагов для достижения той или иной цели. Однако для теоретической науки понятие «алгоритма» достаточно сложное.

В жизни нам часто приходится встречаться с различными ситуациями, в которых мы совершаем одни и те же определенные действия. Для того, чтобы вовремя проснуться, нам нужно не забыть включить будильник. Для того, чтобы утолить свой голод, нам необходимо выполнить одни и те же действия по приготовлению вкусной пищи. Для того, чтобы выполнить знакомую нам работу, мы тоже часто делаем одно и то же.

Такое поведение можно называть по-разному, смотря в каком контексте оно рассматривается. Если рассмотреть с позиции эффективности деятельности, то эти действия можно назвать привычками или навыками. Если рассматривать с точки зрения отображения процесса, то описание последовательности действий, строгое исполнение которых приводит к решению поставленных задач за определенное количество шагов, называют алгоритмом действий.

Как создаются алгоритмы действий?

Мы постоянно сталкиваемся с этим в обычной жизни. Какие действия мы совершаем, чтобы пополнить счет своего мобильного телефона? Каждый из нас — разные. Так как способов пополнения счета несколько, следовательно мы все по-разному это делаем. Результат, правда всегда один получается — появление средств на телефоне.

Или еще пример: чтобы скопировать картинку или текст, нажимаем правой кнопкой мыши на картинку, затем выбираем «Копировать», помещаем в нужное место, нажимаем правой кнопкой » Вставить», и результат достигнут.

Все это — определенная последовательность действий, в результате которых различными средствами решается поставленная задача. Но пока это только наши знания, которые перерастают в навыки и умения, а если этот процесс описать, то мы сможем наглядно увидеть алгоритм наших действий, и передать его другим людям. На словах не все и не всегда понятно бывает.

Опишите последовательность действий — это запоминается

Создать алгоритм действий можно, описав или изобразив его последовательность. Знают ли все, что надо сделать, чтобы посадить дерево? Возможно, основные шаги понятны всем, но вот когда деревце поливать, перед посадкой или после, помнит не каждый. Созданный алгоритм позволит все действия выполнить в правильной последовательности.

Чтобы описать последовательность действий посложнее, придется постараться и подробно их все записать. Пример можно взять с всевозможных правил и инструкций — там очень четко прописываются по шагам действия, которые нам надо сделать. Но бывают ситуации, в которых за определенным действие следует не один шаг, а несколько, в зависимости от предыдущего результата. В таком случае, предположительные действия тоже записывают, чтобы человек мог легко сориентироваться в разных ситуациях, и знал, что нужно предпринять.

Алгоритм действий в графике — это блок-схема

Если изобразить алгоритмы действий в графическом варианте, с помощью геометрических фигур с линиями-связями, показывающими порядок выполнения действия, то мы получим блок-схему. Блок-схема намного превосходит правила, инструкции, и записанные по порядку алгоритмы действий, по своей наглядности и читаемости.

Представьте, что вам нужно чему-то научить другого человека. Вы отлично знаете все действия в определенной последовательности. Ваша задача — показать, как это нужно делать и передать свои знания так, чтобы другой человек их запомнил и знал так же, как и вы. Устная передача знаний допускает импровизации и некоторый произвол. Самым лучшим способом будет блок-схема, в которой объясняется последовательность и возможные варианты действий. В качестве примера — веселое руководство по изучению блог-схем:

Лучшим условием для получения результата будет повторяемость действий. Это однозначно влияет на скорость достижения результата в будущем. Чем чаще вам придется повторять одни и те же действия, тем быстрее вы научитесь выполнять последовательность действий, а значит в каждый последующий раз, вам потребуется меньше времени на выполнение.

Блок-схемы применяются в продажах

В продажах такое обучение с помощью разработки алгоритмов и изображения их в виде блок-схем имеет большое распространение. Чаще всего их используют в телефонных сценариях разговоров в call-центрах и для «холодных» звонков. Корпоративная культура набирает обороты, поэтому многие компании уже не позволяют сотрудникам нести «отсебятину», даже талантливую, а предлагают действовать им по заранее разработанному сценарию, представляя «лицо фирмы» на различных этапах. Эффект появляется буквально после нескольких дней действий «по бумажке». Со временем, многое из описанных алгоритмов запоминается сотрудником, и в дальнейшем он свободно может общаться, не опасаясь того, в какую сторону может уйти разговор.

Алгоритмы действий и блог-схемы разрабатываются не только в продажах. Большое распространение они имеют в обучении и практике врачей, программистов, «компьютерщиков», у многих технических специальностей.

Стоит попробовать научиться действовать по подобным блок-схемам. Ведь впервые встречаясь с непонятным поначалу обилием действий и задач, думаешь о том, как тебе не хватает разработанной блок-схемы. После долгих мучений не выдерживаешь, и начинаешь разрабатывать и создавать самостоятельно. Эффективные люди не любят простоев в делах. А блок-схемы значительно упрощают жизнь и позволяют разобраться в решении сложных задач.

Сервисы для разработки блок-схем

В интернете есть сервисы, которые могут помочь вам создавать такие блок-схемы. Один из них — Сacoo . С его помощью вам легко удастся превращать ваши алгоритмы в различные диаграммы, блок-схемы и графики. Вы увидите, что это очень приятное и радостное занятие — преобразовывать то, что вам известно, в науку для других людей.

— хорошее настроение вам обеспечено. На первоначальном этапе можно воспользоваться возможностями бесплатной учетной записи, а в будущем за доступ нужно будет платить. Естественно, что бесплатный доступ имеет ограничения по сравнению с платными. Но для изучения и первых шагов, функционала вполне достаточно.

Разработав алгоритмы действий и преобразовав их в блок-схемы с помощью Cacoo, вы сможете надолго создать хорошее настроение не только себе, но и другим людям, постигающим азы.

Создавайте игровые блок-схемы для своих детей

Подводя итог вышесказанному отмечу, что теперь вы сможете использовать алгоритмы действий и блок-схемы в различных жизненных ситуациях. Даже ваши дети с огромным удовольствием станут выполнять не самые интересные обязанности, следуя понятным подсказкам. Если будут идеи, где и как можно применять алгоритм действий , поделитесь в комментариях, уважаемые читатели. Очень хотелось бы узнать про ваши алгоритмы.

Моя блок-схема

Вот какая блок-схема у меня получилась в первый раз. Для того, чтобы увеличить изображение, нажмите на него. После перехода на Cacoo, под записью «просмотр фигуры», нажимайте на картинку. Она откроется в большом окне. Удачи!

а л г о р и ф м) – одно из основных понятий логики и математики. Под А. понимают точное предписание, задающее вычислит. процесс, ведущий от начальных данных, к-рые могут варьировать, к искомому результату. Встречающиеся выше слова "вычисления", "вычислительный" не следует понимать в узком смысле цифровых вычислений. Так, уже в школьном курсе алгебры говорят о буквенных вычислениях, и хотя здесь буквы играют еще роль заместителей чисел, уже в арифметич. вычислениях появляются символы, не обозначающие никаких величин: скобки, знак равенства, знаки арифметич. действий. Можно пойти дальше и рассматривать вычисления с произвольными символами и их комбинациями; именно в таком широком смысле и понимают термин "вычисления" при описании понятия "А.". Так, можно говорить об А. перевода с одного языка на другой, об А. работы поездного диспетчера (перерабатывающего информацию о движении поездов в приказы) и др. примерах алгоритмич. описания процессов управления, изучаемых кибернетикой. З н а ч е н и е А. Само слово "А." восходит к 9 в. (оно происходит от Algoritmi, являющегося, в свою очередь, лат. транслитерацией, произведенной, по-видимому, в 12 в., арабского имени хорезмийского математика аль-Хорезми). В наши дни простейшие А. появляются уже в начальной школе – это А. арифметич. действий (в ср.-век. Европе А. как раз и называлась совр. школьная арифметика, т.е. десятичная позиционная система счисления и искусство счета в ней, поскольку трактат аль-Хорезми был одним из первых, если не самым первым, благодаря к-рому Европа познакомилась с позиционной системой). Подчеркнем, что в начальной школе обучают именно А. счета. Говоря об умении человека складывать числа, имеют в виду не то, что он для любых двух чисел рано или поздно сумеет найти их сумму, а то, что он владеет нек-рым единообразным приемом сложения, применимым к любым двум конкретным записям чисел, т.е., иными словами, А. сложения (примером такого А. является известный А. сложения чисел "столбиком"). А. встречаются в науке на каждом шагу, умение решать задачу "в общем виде" всегда означает, по существу, владение нек-рым А. Понятие задачи "в общем виде" уточняется при помощи понятия массовой проблемы. Под термином "проблема" можно понимать задачу нахождения объекта, обладающего теми или иными свойствами; этот объект наз. решением проблемы (в частности, для проблемы нахождения ответа на какой-то вопрос решением является ответ "да" или "нет" на поставл. вопрос). Проблема неразрешима, если она не имеет решения, т.е. не существует объекта, обладающего нужными свойствами. Ясно поэтому, что неразрешимость проблемы не дает оснований для агностич. выводов; напротив, установление неразрешимости конкретной проблемы есть важный познават. акт. Массовая проблема задается серией отдельных, "единичных" проблем и состоит в требовании найти общий метод (т.е. А.) их решения. Неразрешимость массовой проблемы означает невозможность найти соответств. А. Массовые проблемы чрезвычайно характерны и важны для логики и математики. Даже решение единичных проблем часто ценно именно благодаря тому, что одновременно дает общий метод для решения целого класса проблем; в то же время постановка массовой проблемы означает превращение нек-рого класса проблем в единичную проблему – проблему нахождения А. для решения всех проблем этого класса; здесь проявляется связь таких категорий диалектики, как единичное, особенное и всеобщее. Ролью массовых проблем и определяется значение А. Установление неразрешимости той или иной массовой проблемы (т.е. отсутствия е д и н о г о алгоритма, позволяющего найти решения в с е х единичных проблем данной серии) является важнейшим познавательным актом, показывающим, что для решения конкретных единичных проблем принципиально необходимы специфические для каждой такой проблемы методы. Существование неразрешимых массовых проблем служит, т.о., конкретным воплощением неисчерпаемости процесса познания. Содержат. явления, к-рые легли в основу образования понятия "А.", издавна занимали важное место в науке. Многие задачи, возникавшие в математике и логике, заключались в поисках тех или иных конструктивных методов. Поиски таких методов, особенно усилившиеся в связи с созданием удобной математич. и логич. символики, а также осмысление принципиального отсутствия этих методов в ряде случаев – все это было мощным фактором развития науч. знания. Осознание невозможности решить любую задачу прямым вычислением привело к созданию в 19 в. теоретико-множеств. концепции. Лишь после периода бурного развития этой концепции (в рамках к-рой вопрос о конструктивных методах в совр. их понимании вообще не возникает) оказалось возможным в последние десятилетия вновь вернуться к вопросам конструктивности, но уже на новом уровне, обогащенном выкристаллизовавшимся понятием "А." (еще одна иллюстрация к положению Ленина о спиралеобразном характере развития познания). И хотя понятие "А." не является столь далеко идущей абстракцией, как, скажем, понятие "множество", нельзя считать случайным, что исторически первое из этих понятий возникло позднее второго. П р и м е р ы А. Подобно понятиям "множество", "соответствие", "натуральное число", "отношение" и т.п., понятие "А." является первичным логико-математич. понятием (одной из категорий логики и математики). Оно не допускает формального определения через более простые понятия, а (как и др. математич. категории) абстрагируется непосредственно из опыта. Понятие "А." может быть усвоено лишь на примерах. П р и м е р 1. Возможными начальными данными являются конечные непустые комбинации, составленные из палочек (I), т.е. объекты I, II, III и т.д. А. состоит из след. правил (выполнять к-рые надлежит начиная с правила 1°): 1°. Подчеркни снизу крайнюю слева палочку и перейди к выполнению правила 2°. 2°. Надчеркни сверху крайнюю справа палочку и перейди к выполнению правила 3°. 3°. Рассмотри подчеркнутую палочку и, если она не надчеркнута, перейди к выполнению правила 4°. 4°. Рассмотри палочку непосредственно следующую за подчеркнутой; если она не надчеркнута, перейди к выполнению правила 5°; если же она надчеркнута, перейди к выполнению правила 7°. 5°. Перенеси нижнюю черточку с подчеркнутой палочки на непосредственно за ней следующую и перейди к выполнению правила 6°. 6°. Перенеси верхнюю черточку с надчеркнутой палочки на непосредственно ей предшествующую и перейди к выполнению правила 7°. 7°. Сотри надчеркнутую палочку и все следующие за нею палочки и перейди к выполнению правила 8°. 8°. Сотри нижнюю черточку у подчеркнутой палочки; то, что получилось, и есть результат. Применяя этот А. к комбинации ||||, взятой в качестве начального данного, получим последовательно: по правилу 1° – |||, по правилу 2° – ? || , по правилам 3°, 4°, 5° – | ? | , по правилам 6°, 3°, 4° – | ? | по правилу 7° – | ?, по правилу 8° – || (результат). Если же попытаться применить А. к комбинации |||, то получим: по правилу 1° – ? ||, по правилу 2° – ? | , по правилам 3°, 4°, 5° – | ? , по правилу 6° – | I |, далее нужно перейти к выполнению правила 3°, но правило 3° выполнимо лишь при условии, что подчеркнутая палочка не надчеркнута. Т.о., для создавшейся ситуации А. не содержит указаний, как поступать дальше; произошла т.н. безрезультатная остановка (остановка, не сопровождающаяся получением результата). Легко подметить, что вообще сформулиров. А. дает результат при применении его к любой комбинации из четного числа палочек, и результатом в этом случае является комбинация, состоящая из половинного числа палочек; А. не дает результата в применении к любой комбинации, состоящей из нечетного числа палочек. Пример 2. В логике и математике всякий конечный набор знаков наз. "алфавитом", входящие в него знаки – "буквами" алфавита, а конечная (в т.ч. пустая) последовательность написанных друг за другом букв к.-л. алфавита наз. "словом" в этом алфавите. Напр., арабские цифры образуют алфавит, а всякая десятичная запись целого числа является словом в этом алфавите. Рассмотрим алфавит (а, в) из двух букв: а и в. Примерами слов в этом алфавите являются: в, ав, вва ааававв и т.д. Условимся называть "допустимым" переход от слова в этом алфавите к др. слову в этом же алфавите согласно одному из след. двух правил: 1) если слово имеет вид аР, где P – произвольное слово, перейти к слову Рв; 2) если слово имеет вид ва?, где? – произвольное слово, перейти к слову Рава. Далее формулируется след, предписание: "исходя из к.-л. слова (взятого в качестве начальных данных), делай допустимые переходы до тех пор, пока не получится слово вида аа?; когда слово такого вида получится, отбрось первые две буквы, а то, что останется, и есть результат". Поскольку каждый раз выполнимо не более одного правила перехода, то сформулиров. предписание образует А., возможными начальными данными к-рого служат слова в алфавите (а, в). Возьмем в качестве начальных данных слово ваваа. Согласно правилу 2 получим вааава. Снова применяя правило 2, получим ааваава. В силу нашего предписания надо остановиться; результатом (применения А. к слову ваваа) является ваава. Возьмем в качестве начальных данных слово ваава. По правилу 2 получим аваава. По правилу 1 получим ваавав. Далее получим последовательно ававава, вававав, вававава и т.д. Можно доказать, что процесс никогда не закончится (т.е. никогда не возникает слово, начинающееся с двух букв а, и для каждого из получающихся слов можно будет совершить допустимый переход). Т.о., А. не дает результата при применении к слову ваава. Возьмем в качестве начальных данных слово ваав. Последовательно получим ваавв, аввава, ввавав. Далее ни одно из правил 1 и 2 не выполнимо, и в то же время результат не получился. Поэтому в применении к слову аваав А. также не дает результатов. Основные черты А. По утверждению А. А. Маркова, для А. характерны следующие осн. черты: а) о п р е д е л е н н о с т ь алгоритмич. предписания, заключающаяся в его не оставляющей места произволу точности и общепонятности (в силу этой определенности предписания алгоритмич. процесс является д е т е р м и н и р о в а н н ы м: каждая стадия процесса однозначно определяет следующую стадию); б) м а с с о в о с т ь, заключающаяся в возможности для каждого А. исходить из варьируемых в известных пределах начальных данных; в) результативность, заключающаяся в направленности его на получение искомого результата. Детерминированность А. обеспечивает возможность сообщения его одним лицом другому лицу с тем, что это другое лицо сможет выполнять А. без участия первого; это же свойство детерминированности делает возможным передачу выполнения А. машине. Массовость А. предполагает, что существует нек-рая совокупность (для каждого А. своя) возможных начальных данных. Как задается эта совокупность – это уже другой вопрос. Можно считать, что соответствующая какому-либо А. совокупность возможных начальных данных не задается отдельно от А., а указывается естеств. образом самим содержанием этого А. (так, для А. сложения столбиком соответствующая совокупность состоит из всех пар записей чисел в десятичной системе). Когда какой-то конкретный объект выбирается в качестве начальных данных А., то говорят о п р и м е н е н и и А. к этому объекту. Если А. дает результат при применении его к нек-рому объекту, то говорят, что он п р и м е н и м к этому объекту. Результативность А. вовсе не означает, что А. обязан быть применим к любому объекту из соответствующей совокупности возможных начальных данных (см. примеры1 и 2). Здесь уместно отметить, что можно построить такой А., для к-рого не существует никакого А., к-рый распознавал бы по произвольным начальным данным первого А., применим к ним первый А. или нет. Основные абстракции теории А. В науч. практике сложился ряд специфич. для математики и логики абстракций. Таковы прежде всего абстракция актуальной бесконечности, абстракция отождествления, абстракция потенциальной осуществимости. Сов. ученый А. А. Марков показал, что две последние необходимы при рассмотрении А. Алгоритмич. процесс расчленяется на отд. шаги, каждый из к-рых предполагается настолько элементарным, что возможность его фактич. осуществления не вызывает сомнений. Вместе с тем число этих элементарных шагов, требующееся для получения результата, может быть настолько велико, что достижение результата может считаться практически неосуществимым. Однако представление о практич. осуществимости или неосуществимости того или иного числа шагов является относительным. Оно меняется с развитием вычислит. средств (в принципе может меняться и представление об элементарности отд. шага). В теории А. поэтому отвлекаются от "практич. осуществимости" и считают осуществимым любое конечное число шагов. Тем самым при изучении А. допускают абстракцию потенциальной осуществимости, состоящую в отвлечении от реальных границ наших возможностей. Развитие быстродействующих электронных вычислит. машин быстро отодвигает эти границы все дальше и дальше. То, что было лишь потенциально осуществимым вчера, становится практически осуществимым сегодня. Это сближает теорию А. с практикой работы на вычислит. машинах и позволяет этим двум дисциплинам взаимно обогащать друг друга. Передача машине решения задач к.-л. серии невозможна без предварит. составления А. решения. Составление такого А. имеет, как правило, принципиальное значение (так, в проблеме машинного перевода основным является именно составление А. перевода). Абстракция потенциальной осуществимости необходима при рассмотрении не только алгоритмич. процессов, но и самих объектов, участвующих в этих процессах (в т.ч. "начальных данных" и "результатов"). Так, чтобы говорить о любом натуральном числе (точнее, о записи этого числа, скажем, в десятичной системе), надо разрешить себе рассматривать записи столь больших чисел, что эти записи не уместились бы на земном шаре; т.о., и здесь, отвлекаясь от физич. осуществимости такой записи, используют абстракцию потенциальной осуществимости. Вообще к абстракции потенциальной осуществимости необходимо прибегнуть для того, чтобы рассуждать о сколь угодно длинных словах в заданном алфавите. Объекты, построение и рассмотрение к-рых возможно в рамках абстракции потенциальной осуществимости (при противопоставлении ее абстракции актуальной бесконечности), наз. конструктивными объектами. Таковы натуральные числа, представленные своими записями в к.-л. системе их обозначений, слова в заданном алфавите и т.д., а также пары, тройки и вообще конечные последовательности, составленные из записей чисел, слов в алфавите и т.п.; рациональные числа (к-рые можно представить как тройки натуральных) и др. Конструктивными объектами являются и выражения т.н. исчислений, или формальных систем, что позволяет применить к последним аппарат теории А. Всякий А. (понимаемый как предписание) может (после записи этого предписания в виде комбинации каких-то символов) рассматриваться как конструктивный объект. Напротив, объекты, рассмотрение к-рых невозможно без привлечения абстракции актуальной бесконечности, не относятся к числу конструктивных объектов. Так, напр., конструктивными объектами не являются действительные числа (в смысле Кантора, Дедекинда или Вейерштрасса), геометрич. точки (поскольку анализ такой абстракции, как "точка", приводит к представлению о точке как об актуально бесконечной системе малых тел) и т.д. Конструктивные объекты группируются естеств. образом в совокупности, примерами к-рых служат совокупность всех слов в данном алфавите и вообще любая совокупность всех объектов к.-л. "типа" из числа перечисл. выше типов конструктивных объектов. Каждая такая совокупность конструктивных объектов задается способом конструирования принадлежащих к ней объектов. Другой осн. абстракцией, используемой при рассмотрении конструктивных объектов и А., является абстракция отождествления. В нек-рых случаях о двух объектах говорят как об одинаковых. Условия "одинаковости" устанавливаются каждый раз применительно к данной ситуации. Так, напр., при производстве вычислений человеком на бумаге обычно бывает безразличным шрифт, к-рым пишутся цифры, и записи 1647 и 1647 рассматриваются как одинаковые; однако можно представить себе ситуации, когда существенно различие прямого и курсивного шрифтов (как, напр., при восприятии слов, встречающихся в данной Философской Энциклопедии). Тогда две записи будут уже рассматриваться как неодинаковые, но записи 1647 и 1647 все равно – в обычных случаях – как одинаковые (хотя физически это разные объекты). Обычно принимают, что конструктивные объекты состоят из нек-рых достаточно простых "элементарных частей" (подобно тому, как слова – из букв) и два конструктивных объекта считаются одинаковыми, если они состоят из одинаковых элементарных частей, расположенных в одинаковом порядке. Без понятия "одинаковости", на основе к-рого считаются, напр., одинаковыми цифры, написанные мелом на доске, и цифры, написанные чернилами в тетради, невозможно обучение. Абстракция отождествления позволяет говорить об одинаковых объектах как об одном и том же объекте. Она приводит к образованию понятия "абстрактного объекта": именно, два одинаковых конкретных объекта считаются представителями одного и того же абстрактного объекта. Каждый А. примененный к одинаковым объектам, приводит также к одинаковым объектам. Поэтому можно считать, что каждый А., задает процесс преобразования абстрактных конструктивных объектов. Это свойство А. (вместе с детерминированностью) обусловливает их повторимость или воспроизводимость: будучи выработан в форме А. над абстрактными конструктивными объектами, А. может быть повторно воспроизведен для любых конкретных конструктивных объектов, допустимых для данного А. Из сказанного должно стать ясным, что начальные данные равно как окончат. результаты, возникающие при осуществлении к.-л. А., суть всегда конструктивные объекты (всякое "состояние" алгоритмич. процесса есть конструктивный объект!). Невозможность даже потенциально осуществимых процессов над неконструктивными объектами связана и с отсутствием способа опознавания их как одинаковых или неодинаковых (ср. известное положение кибернетики о преимуществах дискретных форм хранения информации перед непрерывными). Существуют различные т. зр. относительно методов, допустимых при изучении А. Одна из них, выдвигаемая представителями конструктивного направления в математике и логике, состоит в том, что, поскольку для образования понятия А. достаточно абстракций отождествления и потенциальной осуществимости, то развитие теории А. должно вестись в рамках этих абстракций. Другая т. зр. допускает при изучении А. любые методы, вообще допускаемые к логике и математике, в т.ч. и требующие абстракции актуальной бесконечности. Так, можно себе представить случай, когда для доказательства того, что нек-рый А., будучи применен к нек-рому объекту, даст результат, потребуется использование тесно связанного с абстракцией актуальной бесконечности закона исключенного третьего. Основные понятия теории А. К числу осн. понятий, возникающих на основе понятия А., относятся понятия вычислимой функции, разрешимого множества и перечислимого множества. Функция наз. вычислимой, коль скоро существует А., вычисляющий эту функцию в след. смысле: а) А. применим к любому объекту, входящему в область определения функции, и дает в качестве результата то значение функции, к-рое она принимает для этого объекта, взятого в качестве ее аргумента; б) А. не применим ни к какому объекту, не входящему в область определения функции. Множество, расположенное в нек-рой совокупности конструктивных объектов (т.е. множество, составленное из каких-то объектов этой совокупности), наз. разрешимым (относительно объемлющей совокупности), коль скоро существует А., разрешающий это множество (относительно указ. совокупности) в след. смысле: А. применим к любому объекту из объемлющей совокупности и дает в качестве результата ответ на вопрос, принадлежит ли этот объект рассматриваемому множеству или нет. Наконец, непустое множество (см. Пустое) наз. перечислимым, коль скоро существует А., перечисляющий это множество в след. смысле: а) результат применения А. к любому натуральному числу существует и принадлежит рассматриваемому множеству; б) каждый элемент рассматриваемого множества может быть получен как результат применения А. к нек-рому натуральному числу. По определению, пустое множество также относят обычно к классу перечислимых. Одна и та же вычислимая функция (соответственно, разрешимое множество, перечислимое множество) может вычисляться (соответственно, разрешаться, перечисляться) посредством различных А. Из определений вытекает, что аргументы и значения вычислимой функции, элементы разрешимого или перечислимого множества суть всегда конструктивные объекты. Заменяя конструктивные объекты (нек-рой фиксиров. совокупности) их номерами в произвольной алгоритмич. нумерации (т.е. такой нумерации, для к-рой существует А. получения по объекту его номера и обратно), можно, как это часто делают в теории А., ограничиться рассмотрением лишь таких вычислимых функций, аргументы и значения к-рых суть натуральные числа, и лишь таких разрешимых и перечислимых множеств, элементы к-рых суть также натуральные числа. Можно доказать, что всякое разрешимое множество перечислимо. В то же время удалось построить перечислимое, но не разрешимое множество. Этот первый конкретный пример (опубликован амер. ученым А. Черчем в 1936 в статье "Одна неразрешимая проблема элементарной теории чисел") отсутствия А. (а именно, А., разрешающего построенное множество) явился источником или образцом почти всех дальнейших примеров такого рода. Оказалось, что множество разрешимо тогда, и только тогда, когда перечислимо и оно, и его дополнение (до объемлющей совокупности объектов). Т.о., существуют такие дополнения к перечислимым множествам, к-рые сами неперечислимы. Связь теории А. с логикой. Понятия разрешимого и перечислимого множеств тесно связаны о классификацией определений (мы ограничиваемся здесь лишь такими определениями, каждое из к-рых определяет объекты нек-рого типа или, что то же самое, нек-рый класс объектов). Как известно, существуют две осн. схемы определений: "через род и видовое отличие" и "по индукции". При определении "через род и видовое отличие" задается нек-рая объемлющая совокупность объектов ("род") и указывается признак ("видовое отличие"), выделяющий среди объектов указ, совокупности класс определяемых объектов. Если; считать, что это определение конструктивно, т.е. что объекты конструктивны и что наличие или отсутствие видового отличия у элемента рода алгоритмически распознаваемо, то определяемое множество оказывается разрешимым (и каждое разрешимое множество можно определить таким образом). Тем самым разрешимые множества отождествляются с множествами, конструктивно определяемыми через род и видовое отличие. Определение "по индукции" состоит из двух частей: базисной части, содержащей нек-рый перечень объектов, к-рые объявляются принадлежащими к определяемому классу, и индуктивной части, гласящей, что если объекты такого-то и такого-то вида принадлежат к определяемому классу, то и объекты такого-то и такого-то вида, связанные с первыми объектами нек-рым отношением, также принадлежат к определяемому классу. (Возможны и более сложные случаи т.н. перекрестных определений, когда одновременно определяется друг через друга несколько классов объектов). Если предполагать определение конструктивным, т.е. объекты конструктивными, перечень исходных объектов, содержащийся в базисной части, конечным, а содержащиеся в индуктивной части правила перехода от уже определенных объектов к новым алгоритмическими (в том смысле, что наличие или отсутствие отношения, о к-ром идет речь в индуктивной части, распознается посредством какого-то А.), то мы приходим к понятию множества, конструктивно определяемого по индукции, или (синоним) эффективно порождаемого множества (поскольку такое определение задает эффективный порождающий п р о ц е с с, на отд. этапах развертывания к-рого "возникают" или "порождаются" определяемые объекты). Примером конструктивного определения по индукции служит определение допустимых шахматных позиций (т.е. позиций, к-рые могут возникнуть на доске в процессе игры). Базисная часть содержит одну единств. исходную позицию. Индуктивная часть содержит правила ходов фигур. Множество допустимых позиций, т.о., эффективно порождаемо. Другим примером эффективно порождаемого множества служит множество всех доказуемых формул к.-л. формальной системы или исчисления: базисная часть определения доказуемых формул содержит аксиомы, индуктивная часть – правила вывода (аксиомы объявляются доказуемыми по определению и далее говорится, что если какие бы то ни было формулы доказуемы, то и формулы, полученные из них по правилам вывода, также доказуемы). Порождающим процессом является здесь процесс доказательства всех доказуемых формул. Наконец, процесс опровержения всех опровержимых формул исчисления также является примером эффективного порождающего процесса. Понятие эффективного порождающего процесса очень тесно связано с понятием А. Мы дали определение (приблизительное) эффективного порождающего процесса, опирающееся на понятие А. В свою очередь, понятие порождающего процесса позволяет определить на его основе если не само понятие А., то, во всяком случае, понятие вычислимой функции. Действительно, пусть нек-рый порождающий процесс способен "порождать" объекты, имеющие вид пар (х, у), и пусть у любых двух "порожденных" пар с совпадающими первыми членами совпадают и вторые члены. Тогда процесс след. образом определяет функцию y = f(x): функция определена для объекта х0 тогда, и только тогда, когда х0 есть первый член к.-л. порожденной пары: значение функций для аргумента х0 равно в таком случае второму члену этой пары. Функция, определенная в указ. смысле эффективным порождающим процессом, очевидно, вычислима [чтобы найти f(x0), надо развертывать процесс до тех пор, пока не найдем пары с х0 в качестве первого члена]. Обратно, всякую вычислимую функцию можно определить посредством эффективного порождающего процесса. Алгоритмич. процессы и порождающие процессы близки друг другу с логич. точки зрения. В основании каждого из них лежат лишь конструктивные понятия. Различие между ними состоит в том, что алгоритмич. процесс развертывается на основе требования, а порождающий – на основе разрешения действовать определенным образом. Здесь проявляется различие между необходимым и возможным (в алгоритмич. процессе каждый этап однозначно, т.е. с необходимостью, определяется предыдущим этапом, в то время как при развертывании порождающего процесса после каждого этапа возникает лишь множество возможностей для след. этапа). При надлежащих уточнениях понятия эффективного порождающего процесса выясняется, что каждое эффективно порождаемое множество перечислимо, и обратно. Это обстоятельство, в сочетании с приведенными выше взаимоотношениями между перечислимым и разрешимым множествами, позволяет заключить следующее. Всякий класс объектов, допускающий конструктивное определение через род и видовое отличие, допускает и конструктивное определение по индукции, но не обратно: существует класс объектов, конструктивно определяемый по индукции, но не допускающий конструктивного определения через род и видовое отличие; дополнение к этому классу объектов (по объемлющей совокупности конструктивных объектов) не допускает эффективного индуктивного определения. Каждый конструктивный порождающий процесс можно представить в виде процесса получения доказуемых формул подходящего исчисления. Поэтому пример класса, обладающего только что описанными свойствами, можно построить в виде класса всех доказуемых формул нек-рого исчисления. Более того, оказалось, что это обстоятельство имеет место для любого достаточно содержат. исчисления (напр., для исчисления предикатов или для исчислений, формализующих арифметику), т.к., если исчисление достаточно содержательно, то в нем можно выразить любой эффективный порождающий процесс. Класс всех доказуемых формул такого исчисления (являясь, конечно, перечислимым) не является разрешимым, так что не существует А., распознающего доказуемость формул исчисления; в этом смысле говорят, что исчисление неразрешимо. Поскольку класс всех доказуемых формул исчисления не является разрешимым, то дополнит. к нему класс всех недоказуемых формул не является перечислимым и, следовательно, не может быть получен никаким порождающим процессом; в частности, невозможно построить такое исчисление, в к-ром "опровергались" бы все недоказуемые формулы первонач. исчисления и только они; тем более, все эти недоказуемые формулы не могут быть опровергнуты средствами самого первонач. исчисления, так что в первонач. исчислении имеются т.н. неразрешимые (т.е. ни доказуемые, ни опровержимые) формулы. В этих рассуждениях можно ограничиться лишь такими формулами, к-рые при содержат. интерпретации исчисления выражают осмысленные (т.е. либо истинные, либо ложные) суждения, и обнаружить, следовательно, и среди таких формул неразрешимые. Отсюда вытекает, что можно предъявить формулу, выражающую истинное суждение, но не доказуемую в исчислении; в этом смысле говорят, что система неполна. Подчеркнем, что в силу общего характера проводимых рассуждений свойство неполноты присуще любому достаточно содержат. исчислению. Понятие неразрешимости исчисления опирается на понятие А., и неудивительно что факт неразрешимости устанавливается на основе исследований в области теории А. Весьма существенным (и, может быть, неожиданным на первый взгляд) является то обстоятельство, что такой общелогич. факт, как неполнота исчислений (факт, выражающий принципиальную невозможность полностью формализовать процесс логич. вывода и впервые строго доказанный австр. ученым К. Геделем еще в 1931, до уточнения понятия "А."), может быть получен, как мы только что видели, средствами теории А. Это обстоятельство уже одно показывает огромные возможности применений теории А. к вопросам логики. Эти применения не ограничиваются приведенным примером. Еще в 1932 сов. ученый А. Н. Колмогоров предложил истолкование созданной интуиционистами конструктивной логики при помощи содержат. средств, не имеющих никакого отношения к установкам интуиционизма; именно, каждое предложение конструктивной логики Колмогоров предложил истолковывать как проблему. Понятие проблемы требовало, однако, конкретизации, к-рая могла быть дана только на базе уже разработанной теории А. Два конкретных класса проблем, пригодных для интерпретации конструктивной логики, предложили, соответственно, амер. ученый С. К. Клини в 1945 и сов. ученый Ю. Т. Медведев в 1955. В 1956 сов. ученый Н. А. Шанин выдвинул новую концепцию, согласно к-рой не всякое высказывание конструктивной логики требует истолкования в виде проблемы. К этому кругу идей примыкают вопросы "конструктивизации", или "нахождения конструктивных аналогов", классич. математич. понятий и предложений; решение этих вопросов также возможно лишь на основе теории А. Конструктивизация осн. понятий математич. анализа привела к разрабатываемому сейчас т.н. конструктивному математич. анализу. Намечаются пути конструктивизации и др. математич. теорий. Одним из осн. приемов, используемых при конструктивизации, является переход от изучаемых предметов к их именам, к-рые всегда являются конструктивными объектами. П р о б л е м ы р а з р е ш е н и я. Частным случаем массовых проблем являются разрешения проблемы. Проблемы разрешения к.-л. множества есть проблема построения А., разрешающего это множество. Соответств. серия единичных проблем состоит здесь из проблем ответа на вопрос о принадлежности к множеству, поставленный для каждого объекта из объемлющей совокупности конструктивных объектов. Обратно, всякая массовая проблема, соответств. серии единичных проблем ответа на вопрос, может быть рассмотрена как проблема разрешения нек-рого множества, а именно – множества тех единичных проблем, ответом на к-рые служит "да". Отсюда ясна важная роль проблем разрешения. Именно они подвергались изучению с т. зр. их разрешимости. Среди проблем разрешения выделяются проблемы, поставленные для классов доказуемых формул исчислений. Проблема разрешения класса всех доказуемых формул к.-л. исчисления наз. также проблемой разрешения самого исчисления. (В рус. текстах проблему разрешения наз. обычно "проблемой разрешимости"; однако "проблемой разрешимости" лучше называть проблему: "ответить, имеет ли решение данная проблема разрешения"). Неразрешимые массовые проблемы. Проблема разрешения для к.-л. исчисления всегда есть проблема разрешения перечислимого множества. Вообще все естественно возникавшие в математике проблемы разрешения оказывались проблемами разрешения перечислимых множеств. Таков упоминавшийся выше первый пример неразрешимой проблемы разрешения (и одновременно первый пример неразрешимой массовой проблемы вообще), опубликованный Черчем в 1936. Такова т.н. проблема тождества для ассоциативных систем, доказательства неразрешимости к-рой опубликовали в 1947 независимо друг от друга А. А. Марков и амер. ученый Э. Л. Пост; этот результат представляет интерес как первый пример доказательства неразрешимости массовой проблемы, возникшей (еще в 1914) вне логики и теории А. Такова и знаменитая проблема тождества для групп, поставленная еще в 1912, неразрешимость к-рой доказана в 1952 сов. ученым П. С. Новиковым (Ленинская премия, 1957). Каждая из проблем тождества состоит в отыскании А., устанавливающего эквивалентность или неэквивалентность двух слов в заданном алфавите (от того или иного определения эквивалентности зависит, имеем ли мы дело с ассоциативной системой или группой). Поэтому проблему тождества можно рассматривать как проблему разрешения множества всех пар эквивалентных друг другу слов (относительно совокупности всевозможных пар слов). При этом, поскольку можно задать порождающий процесс получения всех пар эквивалентных друг другу слов, множество всех таких пар перечислимо. С в о д и м о с т ь. Начиная с примера Черча 1936 и по 1944 все доказательства неразрешимости массовых проблем проводились или могли быть проведены след. единообразным методом. Заведомо неразрешимая проблема, исследованная Черчем, сводилась к рассматриваемой массовой проблеме, так что если бы рассматриваемая массовая проблема была разрешимой, то оказалась бы разрешимой и проблема Черча (в этом смысле можно сказать, что доказательство неразрешимости рассматриваемой проблемы сводилось к доказательству неразрешимости проблемы Черча). Возник вопрос, для всякой ли неразрешимой проблемы разрешения ее неразрешимость может быть установлена таким способом. Этот вопрос, получивший название проблемы сводимости, был поставлен Постом в 1944; одновременно Пост привел несколько примеров неразрешимых проблем разрешения, неразрешимость к-рых была установлена им методом, отличным от описанного выше (эти примеры не решали еще проблему сводимости, поскольку оставался открытым вопрос, нельзя ли и для них найти такие доказательства неразрешимости, к-рые сводились бы к доказательству неразрешимости проблемы Черча; впоследствии для нек-рых из указанных примеров такие доказательства были действительно найдены). Проблема сводимости стояла в центре исследований по теории А. вплоть до 1956, когда она была решена независимо сов. ученым А. А. Мучником и амер. ученым Р. М. Фридбергом. Выл построен пример неразрешимой проблемы разрешения (для перечислимого множества), неразрешимость к-рой нельзя доказать сведением к этой проблеме проблемы Черча. Мучник показал даже больше, а именно, что не только проблема Черча, но и никакая другая проблема не может служить "стандартной неразрешимой проблемой" в том смысле, что доказательство неразрешимости любой неразрешимой проблемы разрешения для перечислимого множества могл

В информатике план действий называют алгоритмом .
Алгоритм состоит из отдельных шагов – команд . Ни одну из них нельзя пропустить, чаще всего никакие команды нельзя поменять местами.
Исполнитель – человек, животное или машина, способные понимать и выполнять некоторые команды.
Среда исполнителя – предметы, которые окружают исполнителя и с которыми он работает.
Список Команд Исполнителя (СКИ) – набор команд, понятных исполнителю. Исполнитель может выполнить только те команды, которые входят в его СКИ.

Для решения большинства задач недостаточно отдать одну команду исполнителю, надо составить для него алгоритм – план действий, состоящий из команд, которые ему понятны (входят в его СКИ).
Алгоритм – точно определенный план действий исполнителя, направленный на решение какой-то задачи. В алгоритм можно включать только те команды, которые есть в СКИ.

Какие бывают алгоритмы

Линейный алгоритм
В линейном алгоритме команды выполняются последовательно, одна за другой. Примером линейного алгоритма может служить алгоритм заварки чая.

Разветвляющийся алгоритм

В разветвляющемся алгоритме порядок следования команд может быть разный в зависимости от того, какова окружающая обстановка. Примером разветвляющегося алгоритма может служить алгоритм перехода улицы.

Циклический алгоритм
В циклическом алгоритме некоторые действия повторяются несколько раз (в информатике говорят, что выполняется цикл). Существуют два вида циклических алгоритмов. В одном из них мы знаем заранее, сколько раз надо сделать эти действия, в другом мы должны остановиться лишь тогда, когда выполним работу, то есть наши действия прекращаются при выполнении какого-то условия.
Примером цикла первого типа является наша жизнь в рабочие дни (от понедельника до субботы) – мы выполняем 6 раз почти одни и те же действия.
Пример цикла второго типа – алгоритм распилки бревна: мы не можем заранее сказать, сколько раз нам надо провести пилой от себя и на себя - это зависит от плотности дерева, качества пилы и наших усилий. Однако мы точно знаем, что надо закончить работу, когда очередное отпиленное полено упадет на землю.

Способы записи алгоритмов

Выделяют три наиболее распространенные на практике способа записи алгоритмов:

• словесный (запись на естественном языке);
• графический (запись с использованием графических символов);
• программный (тексты на языках программирования).

Словесный способ записи алгоритмов

Словесный способ – способ записи алгоритма на естественном языке . Данный способ очень удобен, если нужно приближенно описать суть алгоритма. Однако при словесном описании не всегда удается ясно и точно выразить логику действий.

В качестве примера словесного способа записи алгоритма рассмотрим алгоритм нахождения площади прямоугольника

где S – площадь прямоугольника; а, b – длины его сторон.

Очевидно, что a, b должны быть заданы заранее, иначе задачу решить невозможно.

Словестный способ записи алгоритма выглядит так:

• Начало алгоритма.
• Задать численное значение стороны a.
• Задать численное значение стороны b.
• Вычислить площадь S прямоугольника по формуле S=a*b.
• Вывести результат вычислений.
• Конец алгоритма.

Графический способ описания алгоритмов

Для более наглядного представления алгоритма используется графический способ. Существует несколько способов графического описания алгоритмов. Наиболее широко используемым на практике графическим описанием алгоритмов является использование блок-схем. Несомненное достоинство блок схем – наглядность и простота записи алгоритма.

Каждому действию алгоритма соответствует геометрическая фигура (блочный символ). Перечень наиболее часто употребляемых символов приведен в таблице ниже.

Так как в линейном алгоритме команды выполняются последовательно, то блок-схема будет иметь вид:

Так как в разветвляющемся алгоритме порядок следования команд может быть разный в зависимости от того, какова окружающая обстановка, то блок-схема примет вид:

В циклическом алгоритме некоторые действия повторяются несколько раз и для него блок-схема примет вид:

Программный способ записи алгоритмов

Для того, чтобы алгоритм был понятен роботу, компьютеру или другой машине, недостаточно только написать команды, надо еще и оформить алгоритм в таком виде, в котором его понимает машина (написать программу), т.е. записать его с использованием команд из СКИ, соблюдая правила оформления.

Правила оформления программы:

1. любой алгоритм имеет название;
2. алгоритм начинается с открывающей фигурной скобки “{“ и заканчивается закрывающей фигурной скобкой “}”; команды, расположенные между этими скобками, называются телом алгоритма;
3. в алгоритм могут входить только те команды, которые есть в СКИ исполнителя;
4. каждая команда заканчивается знаком “;”, который обозначает конец команды;
5. для того, чтобы нам было легче разбираться в программах, используют комментарии - текстовые пояснения, которые начинаются знаками “/*” и заканчиваются знаками “*/”; исполнитель не обращает внимания на комментарии в алгоритме.

Практические задания:

1. Составить блок-схему для нахождения периметра квадрата.
2. Составить блок схему для заваривания чая.
3. Составить блок-схему для перехода перекрестка со светофором.

Использован материал из книг:

1. "Современные информационные технологии", авторы преподаватели центра "Турбо"
2. "Алгоритмы и исполнители", автор Поляков К.