Тема: Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Цель: познакомить с историей возникновения и развития систем счисления, указать на основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления.

Программно-дидактическое обеспечение урока: ПК, раздаточный материал, плакаты.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Постановка целей урока.

1. «Все есть число». Что имели в виду древние пифагорейцы?

2. Сколько существует систем развития? Какая была самой первой и по­чему?

3. Римское число CXXVII. Какую величину оно выражает?

4. Системы счисления, основанные на позиционном принципе, воз­никли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

5. 3FA4 - это число?

6. Кто и когда считал пятерками и дюжинами?

III. Изложение нового материала.

1. Системы счисления.

Лозунг «Все есть число»

Так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Современный человек каждый день запоми­нает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость поку­пок, ведет семейный бюджет и т. д. и т. п. Числа, цифры... они с нами везде.

Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в лю­бом случае число изображалось с помощью любого или нескольких симво­лов, которые называются цифрами.

Цифры - это символы, участвующие в записи числа и составляющие не­который алфавит .

Что же такое тогда число?

Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от пред­метов пересчета и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять и единица измерения (эталон) не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Далее понятие числа развивалось в математике и сегодня считается фундаментальным понятием не только математики, но и информатики.

Число - это некоторая величина.

Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах раз­вития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления.

Система счисления - это способ записи чисел с помощью цифр.

Все известные системы счисления делятся на позиционные и непозици­онные. Непозиционные системы счисления возникли раньше позицион­ных. Последние являются в свою очередь результатом длительного истори­ческого развития непозиционных систем счисления.

2. Непозиционные системы счисления.

Непозиционной называется такая система счисления, у которой коли­чественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

1) Единичная система счисления.

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: кам­не, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найде­ны такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к перио­ду палеолита (10-11 тысяч лет до н. э.).

Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной систе­мой счисления. Неудобства такой системы счисления очевидны: чем боль­шее число надо записать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться - нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Поэтому позже эти значки стали объединять в группы по 3,5 и 10 палочек. Таким образом, возникали уже более удобные системы счисления. Отголос­ки единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, сами того не осознавая, малыши на пальцах показывают свой возраст, а счетные палочки использовали для обучения счету учеников 1 класса .

2) Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во вто­рой половине третьего тысячелетия до н. э. Бумагу заменяла глиняная до­щечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа 1, 10, 100, 1000 и т. д. и записывались они при помощи специальных иероглифов.

Именно из комбинации таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялось не более девяти раз.

Почему? (Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заме­нить одним числом, но на разряд старше .) Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. Вначале писали число высшего порядка, а затем низшего.

Число 2346 «рисовалось» так:

Два цветка лотоса (две тысячи);

Три свернутых пальмовых листа (три сотни);

Четыре дуги (четыре десятка);

Два шеста (две единицы).

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел - особая роль отводилась двойке.

Египтяне вычисляли 19×31 так: они последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левой - соответс­твующую степень двойки.

https://pandia.ru/text/78/014/images/image002_94.gif" width="14 height=14" height="14">Славяне, как и греки, умели записывать числа и больше 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000...записывали теми же «цифрами», что и 1,2, 3..., толь­ко перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак.

Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».

Таким образом, для обозначения «тем» (множественное число от слова тьма) первые 9 «цифр» обводились кружками.

10 тем, или, было единицей высшего разряда. Ее называли «леги­он». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рас­сматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обоз­начения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значе­ния разряда.

Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

3. Переход от непозиционных систем счисления к позиционным.

Каковы недостатки непозиционных систем счисления? (В записи больших чисел участвует большое количество цифр. Неудобно выполнять арифметические действия. Невозможно представлять отрицательные и дробные числа.)

В связи с вышеназванными недостатками непозиционные системы счис­ления постепенно уступили место позиционным системам счисления.

Индийская мультипликативная система

Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение пози­ционного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории о древнем Китае, Индии, и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни - Y. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y 2Х 3. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применя­ются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. С использованием введенных обозначений чис­ло 100 можно записать в виде 1Y.

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание назва­ний разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек ». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н. э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможно после величайшего открытия - цифры «0» для обозначения отсутствующей ве­личины.

Как же появился нуль?

Кто ознакомился с вавилонской системой счисления, тот помнит, что уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого разряда. Примерно во II веке до н. э. с астрономическими наблюдениями ва­вилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не клиньями, а в своей алфавитной нумерации. Но са­мое замечательное было то, что для обозначения нулевого разряда греческие астрономы стали использовать символ «О» (первая буква греческого слова Ouden - ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н. э., это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии использовалась мультипликативная система счисления. По утверждению историков при­мерно в это время индийцы познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим нулем. Индийцы соединили свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации чисел греческих астрономов. Это и был завершающий шаг в создании нашей десятичной сис­темы счисления.

В современной десятичной системе счисления, которая является позици­онной, используются 10 арабских цифр. Почему мы называем наши цифры арабскими? С возникшей в Индии десятичной системой счисления первы­ми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при расчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систе­му счисления в Европу. С начала XII века эта десятичная система счисления получила распространение по всей Европе под названием арабской. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называются арабскими.

4. Позиционные системы счисления.

Позиционной называется такая система счисления, в которой количест­венный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

Пример.

Рассмотрим число 222.

В записи этого числа используется трижды цифра 2. Но вклад каждой цифры в величину числа разный. Первая 2 означает число сотен, вторая - число десятков, третья - число единиц. Если сравнить «вес» каждой цифры в этом числе, то получиться, что первая 2 «больше» второй в 10 раз и «боль­ше» третьей в 100 раз. Этот принцип отсутствует в непозиционных системах счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

1. простота выполнения арифметических операций;

2. ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.

Позиционная система записи чисел удобна и экономична не только для за­писи чисел знаками на бумаге и для выполнения над ними арифметических действий. Она удобна и для механического представления чисел. Вспомним, например, счеты. Каждому разряду числа (единицам, десяткам, сотням, ты­сячам и т. д.) на счетах соответствует своя проволока. Костяшки на этой про­волоке могут занимать десять различных положений (одиннадцатое поло­жение - когда все десять косточек находятся с левой стороны - допускается лишь в середине вычислений, а в конце их является запретным: все десять косточек должны быть переброшены направо, а на следующей по старшинс­тву проволоке одна косточка переброшена справа налево).

Разряд - это позиция цифры в числе.

Основание (базис) позиционной системы счисления - это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Позиционных систем очень много, так как за основание системы счисле­ния можно принять любое число не меньшее 2.

Данные о некоторых системах счисления запишем в таблицу.

Название	Основание	Цифры	Где используется
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B,C, D,E, F
Десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	В современной повседневной жизни
Пятеричная

Вспомните, как кодируется информация в компьютере? (С помощью двоичного кодирования, т. е. любая информация представляется в виде после­довательности 0 и 1.)

VI. Закрепление изученного.

Решите задачи:

№1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: ММIV, LXV, CMLXIIV?

№2. Запишите число 555:

A) в древнеегипетской системе счисления;

Б) в римской системе счисления;

B) в древнеславянской системе счисления.

№3. Запишите числа от 15 до 25 в старославянской системе счисления.

V. Итог урока.

Что такое система счисления?

Какие бывают системы счисления?

Домашнее задание.

§2.6, вопросы с.92, запишите с помощью известных вам непозиционных систем счисления дату своего рождения, придумайте свою непозиционную систему счисления, указав при этом: какие знаки используются в качестве цифр и правила, по которым формируются из этих цифр числа. Запишите в ней числа 352, 2004, 25.

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возникла и необходимость в названии и записи чисел.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Называть числа и вести счет люди научились еще до появления письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревянные палочки с зарубками, шнуры и веревки с узлами. Веревочные счеты с узелками употреблялись в России и во многих странах Европы.

Способ «записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удобным, так как для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись, но и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и действия над ними. Поэтому возникли иные, более экономичные записи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались группы по 5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали люди племени майя. «Следы» такого счета сохранились в датском и некоторых других европейских языках. Иногда применялся счет пятками, а также группами по 12 элементов. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц. Древневавилонская система используется до сих пор при измерении времени и углов в минутах и секундах.

Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Эта система, принятая сейчас почти всюду, основана на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах. Десятичная система счисления возникла в Индии, в VI в. Однако вид индийских цифр значительно отличается от современной их записи. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока приняли современную форму.

Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему счисления арабы. Распространению же этого способа записи чисел и правил выполнения арифметических действий над числами способствовала книга среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Об индийском счете», созданная им в начале IX в.

Европейцы познакомились с достижениями индо-арабской математики в XI в. Расширение торговли повлекло за собой значительное усложнение счета, появилась потребность в совершенствовании методов счета. Поэтому европейские математики обратились к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С десятичной системой счисления европейцы познакомились через перевод книги аль-Хорезми. В 1202 г. выходит «Книга абака» Л. Фибоначчи, где также вводятся индийские цифры и нуль. С XIII в. начинается внедрение десятичной системы, и к XVI в. она стала повсеместно использоваться в странах Западной Европы.

Распространению десятичной системы в России способствовала книга первого русского выдающегося педагога-математика Л.Ф.Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», вышедшая в 1703 г. на славянском языке. Она являлась энциклопедией математических знаний того времени. Все вычисления в ней проводятся при помощи цифр индийской нумерации. В «Арифметике» выделено особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счисление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется), если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащей, то увеличивает в десять раз, как будет показано в дальнейшем». Однозначные числа в книге Л.Ф.Магницкого называются «перстами»; числа, составленные из единиц и нулей, - «суставами»; все остальные числа - «сочинениями». Таблица с названиями круглых чисел доведена Магницким до числа с 24 нулями. В «Арифметике» в стихотворной форме подчеркнуто: «Число есть бесконечно...»

Непозиционные системы счисления

Различают позиционные и непозиционные системы счисления . В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV - четыре, ХС - девяносто. Запишем несколько чисел в римской нумерации.

193 - это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III); следовательно, число 193 записывается как СХСШ.

564 - это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (X) плюс, четыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, 564 записывается как DLXIV.

2708 - это две тысячи (ММ) плюс пятьсот (D) плюс сто (С) плюс сто (С) плюс пять (V) плюс три (III). Следовательно, число 2708 записывается так: MMDCCVIII.

Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака М. Вообще же числа четырех-, пяти- и шестизначные записывались с помощью буквы m (от лат. слова mille - тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа - сотни, десятки, единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

В России до XVII в. в основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак - титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская или славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку позволяли записывать большие числа. Однако выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому на смену им пришла десятичная система счисления.

Системы счисления принято делить на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных СС от положения (позиции) цифры в записи не зависит величина, которую она обозначает. Характерным примером такой системы счисления является римская СС.

Например, в римской СС число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Например :

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 - 1 = 4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Такие системы счисления используются редко, т.к. не приспособлены для вычислений.

На практике наибольшее распространение получили позиционные системы счисления.

Позиционная система счисления - система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией ) в ряду других цифр. В каждой позиционной системе счисления имеется основание. Любое число записывается в виде последовательности из цифр основания. Количество цифр основания равно самому основанию. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

Некоторые позиционные системы счисления

Таблица 3.1

Основание	Система счисления	Знаки
	Двоичная	0,1
	Троичная	0,1,2
	Четвертичная	0,1,2,3
	Пятиричная	0,1,2,3,4
	Восьмиричная	0,1,2,3,4,5,6,7
	Десятиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
	Двенадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В
	Шестнадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,D,E,F

Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Называются они так потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов (цифр) -0123456789.

Возьмём, к примеру, число 246. Его запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 . Она построена следующим образом:

В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры.

При этом пользуются следующим алгоритмом:

1) цифра в каждой позиции умножается на основание в степени на 1 меньшую, чем номер позиции;

2) полученные таким образом значения складываются.

Например:

123 10 = 1 * 10 2 + 2 * 10 1 + 3 * 10 0 ;

1023.28 10 = 1 * 10 3 + 0 * 10 2 + 2 * 10 1 + 3 * 10 0 + 2 * 10 -1 + 8 * 10 -2

В других системам счисления такой перевод будет выглядеть следующим образом:

123 8 = 1х8 2 + 2 х 8 1 + 3 х 8 0 = 83 10 ;

101 2 = 1 х 2 2 + 0 х 2 1 + 1 х 2 0 = 5 10 ;

1Е3 16 = 1 х 16 2 + 14 х 16 1 + 3 х 16 0 = 483 10 .

Здесь индекс числа служит указанием на основание системы счисления. Назовем основанием системы счисления число, равное мощности множества (т.е. количеству элементов множества) различных символов, допустимых в каждой позиции числа.

Десятичная система счисления является однородной. Это означает, что одних и тех же символов достаточно для изображения любого числа. Но в повседневной жизни мы пользуемся и неоднородными системами счисления, и системами счисления с другим основанием. Пример тому - неметрические системы единиц (1 пуд=40 фунтов), система счета времени (1 минута = 60 секунд).

В дальнейшем мы будем рассматривать однородные позиционные системы счисления.

Обозначим через p основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены следующим образом:

Таким образом, любое число X в позиционной системе счисления с основанием p можно представить в следующей развернутой форме записи :

,

p - основание системы счисления;

m - количество позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа;

s - количество разрядов, отведенное для изображения дробной части числа;

n = m + s - общее количество разрядов в числе,

a i - любой допустимый символ в разряде (т.е. должен принадлежать множеству {0,1, p-1}).

Заметим, что число, равное основанию системы счисления, в самой системе счисления записывается в виде:

В компьютерных науках наибольшее распространение получила не десятичная, а системы счисления с основанием, кратным 2 - двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

В двоичной системе счисления допустимыми символами являются только 0 и 1, а само число может быть представлено в виде последовательности нулей и единиц.

Например:

11010010 2 = 1 * 2 7 + 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 162 10

В восьмеричной системе счисления допустимыми символами являются 0,1,…7.

Например:

242 8 = 2 * 8 2 + 4 * 8 1 + 2 * 8 0 = 162 10

В шестнадцатеричной системе допустимыми символами являются 0, 1, 9, A, B, C, D, E, F.

Например:

A2 16 = 10 * 16 1 + 2 * 16 0 = 162 10

Системы счисления принято делить на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных СС от положения (позиции) цифры в записи не зависит величина, которую она обозначает. Характерным примером такой системы счисления является римская СС.

Например, в римской СС число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Например:

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Такие системы счисления используются редко, т.к. не приспособлены для вычислений.

На практике наибольшее распространение получили позиционные системы счисления.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией ) в ряду других цифр. В каждой позиционной системе счисления имеется основание. Любое число записывается в виде последовательности из цифр основания. Количество цифр основания равно самому основанию. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

Некоторые позиционные системы счисления

Таблица 3.1

Основание	Система счисления	Знаки
Двоичная	0,1
Троичная	0,1,2
Четвертичная	0,1,2,3
Пятиричная	0,1,2,3,4
Восьмиричная	0,1,2,3,4,5,6,7
Десятиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двенадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В
Шестнадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В,D,E,F

Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Называются они так потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов (цифр) –0123456789.

Возьмём, к примеру, число 246. Его запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100

Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100. Она построена следующим образом:

В нашем числе три цифры. Старшая цифра «2» имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра «4» имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры.

При этом пользуются следующим алгоритмом:

1) цифра в каждой позиции умножается на основание в степени на 1 меньшую, чем номер позиции;

2) полученные таким образом значения складываются.

Например:

12310 = 1*102+2*101+3*100;

1023.2810=1*103+0*102+2*101+3*100+2*10-1+8*10-2

В других системам счисления такой перевод будет выглядеть следующим образом:

1238 = 1х82+2х81+3х80=8310;

1012 = 1х22+0х21+1х20=510;

1Е316 = 1х162+14х161+3х160=48310.

Здесь индекс числа служит указанием на основание системы счисления. Назовем основанием системы счисления число, равное мощности множества (т.е. количеству элементов множества) различных символов, допустимых в каждой позиции числа.

Десятичная система счисления является однородной. Это означает, что одних и тех же символов достаточно для изображения любого числа. Но в повседневной жизни мы пользуемся и неоднородными системами счисления, и системами счисления с другим основанием. Пример тому – неметрические системы единиц (1 пуд=40 фунтов), система счета времени (1 минута = 60 секунд).

В дальнейшем мы будем рассматривать однородные позиционные системы счисления.

Обозначим через p основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены следующим образом:

Таким образом, любое число X в позиционной системе счисления с основанием p можно представить в следующей развернутой форме записи :

p – основание системы счисления;

m – количество позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа;

s – количество разрядов, отведенное для изображения дробной части числа;

n=m+s – общее количество разрядов в числе,

ai – любой допустимый символ в разряде (т.е. должен принадлежать множеству {0,1,…,p-1}).

Заметим, что число, равное основанию системы счисления, в самой системе счисления записывается в виде:

В компьютерных науках наибольшее распространение получила не десятичная, а системы счисления с основанием, кратным 2 – двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

В двоичной системе счисления допустимыми символами являются только 0 и 1, а само число может быть представлено в виде последовательности нулей и единиц.

Например:

110100102=1*27+1*26+0*25+1*24+0*23+0*22+1*21+0*20=16210

В восьмеричной системе счисления допустимыми символами являются 0,1,…7.

Например:

2428=2*82+4*81+2*80=16210

В шестнадцатеричной системе допустимыми символами являются 0,1,…9,A,B,C,D,E,F.

Например:

A216=10*161+2*160=16210

Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел.
Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные


Позиционными называются системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Непозиционными называются системы счисления, в которых значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Позиционной является привычная для нас в повседневной жизни десятичная система счисления, в которой значение (вес) цифры зависит от ее позиции в записи числа. В числе 1111 одна и та же цифра 1 означает последовательно единицу, десяток, сотню, тысячу.

Все системы счисления, используемые в информатике (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.), являются позиционными. Это важно, т. к. правила образования чисел, перевода из одной системы в другую, выполнения арифметических операций во всех позиционных системах аналогичны.

Непозиционной системой счисления является, например, римская. Правила выполнения арифметических операций в непозиционных системах счисления совсем иные.

В 2-ной системе основание равно 2, т.е. используется всего 2 цифры - 0 и 1. В 8-ной основание равно 8, используются цифры от 0 до 7. В 16-ной системе основание равно 16, используются цифры от 0 до 15. Использование цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15 в записи чисел неудобно, т. к. трудно отличить, например, цифру 12 от двух цифр – 1 и 2. Поэтому условились цифры от 10 до 15 обозначать латинскими буквами в порядке алфавита A, B, C, D, E, F.

Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе.
Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления.
Например: двоичная система счисления (А2), восьмеричная система счисления (А8) т.д.
Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе.
Например: римская система счисления (II, V, XII)